Das Zählen in Babylon

Das Zählen in Babylon
Copyright © galileoandeinstein.physics.virginia.edu
For original English text, go to: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu
Translated by A.Romanova

Michael Fowler, UVa Physik, 9/2/08

Erste geschriebene Sprache

Sumer und Babylonia, die sich heutzutage in Irak befinden, waren wahrscheinlich die ersten Menschen, die eine geschriebene Sprache haben, in Sumer ungefähr 3100 v. Chr. beginnend. Die Sprache hat fortgesetzt, bis zur Zeit von Christus geschrieben zu werden, aber dann wurde sie völlig vergessen,  sogar der Sumer Name ist unbekannt bis zum neunzehnten Jahrhundert geworden.

Von den frühsten Zeiten wurde die Sprache für Geschäfts- und Verwaltungsdokumente verwendet. Später wurde es verwendet, um Epen, Mythen usw. niederzuschreiben, der früher wahrscheinlich durch die mündliche Tradition wie das Epos von Gilgamesh weitergegeben worden war.

Gewichte und Maßnahmen: 60er überall!

In ungefähr 2500 v. Chr., durch das königliche Edikt, wurden Gewichte und Maßnahmen in Babylon standardisiert. Das war eine praktische Geschäftsentscheidung, die zweifellos viel Spannung im Marktplatz beseitigt hat.

Die kleinste Gewichtseinheit war das Gran (ungefähr 45 Milligramme). Welcher Gebrauch war das? Zuerst war die Währung tatsächlich Gerstenkorn! (Sie haben sich später zu Silber- und Goldbarren umgezogen.) Der Schekel war 180 Grans (ungefähr ¼ Unzen), die Mina 60 Schekel, und das Talent 3600 Schekel (ungefähr 67 Pfunde). Mehr Details gibt es hier.

1 Talent = 60 Mine = 3600 Schekel = ca. 60 Pfunde
1 Mine = 60 Schekel = ca. 1 Pfund
1 Schekel = 180 Grän = ca. ¼ Unze
1 Gran = ca. 45 mg

Die kleinste Längeneinheit war — Überraschung — das Gerstenkorn genannt, ist ungefähr 1/10 Zoll.

Als nächstes ist der Finger oder Shu-Si gekommen, gleich zu 6, sie ist ungefähr 2/3 eines Zoll.

Die Elle (oder kush) war 30 Finger, ungefähr 20 Zoll.

Der nindan (oder GAR oder Stange) war 12 Ellen, 20 Fuß oder 6 Meter.

Die Schnur oder das Tau (verwendet im Vermessen) waren 120 Ellen, 200 Fuß, d. h. 3600 Finger.

Die Liga (auch genannt Bühne und Beru) war 180 Schnuren, ungefähr sieben Meilen.

Die grundlegende Gebietseinheit war der sar, ein Quadrat nindan, 400 Quadratfuß, ein Garten-Anschlag.

Der Gin war 1/60 sar.

Vor 2000 v. Chr. gab es einen Kalender mit einem Jahr von 360 Tagen, 12 Monaten von 30 Tagen, jeder mit einem Extramonat, der in allen sechs Jahren geworfen ist oder so zu halten, synchronisiert mit astronomischen Beobachtungen. (Gemäß Dampier, A History of Science, Cambridges, Seite 3, wurde der Tag in Stunden, Minuten und Sekunden geteilt, und die erfundene Sonnenuhr. Er deutet an, dass das 2000 v. Chr. ist. Er sagt nicht, wie viele Stunden an einem Tag gibt, und Neugebauer (The Exact Sciences in Antiquity, Dover, Seite 86) behauptet, dass die Ägypter die ersten waren, die vierundzwanzig Stunden präsentiert haben.)

Der Kreis wurde in 360 Grade geteilt.

Bemerken Sie, dass alle diese Standards der Messung, schließen oft Vielfachen 60— offensichtlich ein, 60 war die Lieblingszahl der Babylonier.

Zahlensysteme : Unserer, der Römer und der Babylonier

Um einzuschätzen, was ein gutes zählendes System einsetzt, ist es lohnende Prüfung unser eigenes System und dieser der Römer knapp überblicken. Das römische System ist einerseits primitiver als unserer: X immer bedeutet 10, C 100, und I 1. (Sie könnten denken: Das ist nicht ziemlich wahr — sie haben Zahlen umgekehrt, um Subtraktion, solcher als IV für 4 anzuzeigen. Tatsächlich scheint es, dass sie nicht getan haben, haben sie IIII verwendet, und IV ist neuer. Es gibt einen Artikel über all das in der Wikipedia, die interessant, aber zurzeit unzuverlässig ist.)

Im Vergleich, in unserem System 1 kann 1 oder 10 oder 100 bedeuten, je nachdem wo es im Ausdruck erscheint —1 in 41 bedeutet eine verschiedene Menge von 1 in 145, zum Beispiel. Wir sagen, dass der Wert eines Symbols “Stellungsabhängigkeit” hat — hängt seinem tatsächlichen Wert ab, wo im Ausdruck es erscheint. Unsere Tagung, wie Sie gut wissen, besteht darin, dass die Zahl zum weiten Recht in unserem System die Zahl 1’s ist, die Zahl zu seinem direkt links ist die Zahl von 10’s, links davon kommt die Zahl 10×10’s, dann 10×10×10’s und so weiter. Wir verwenden denselben Satz von Symbolen, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 in jeder von dieser Positionen, so hängt der Wert solch eines Symbols in einer Zahl von seiner Position in dieser Zahl ab.

Die Größe  weniger als 1 auszudrücken, verwenden wir die dezimale Notation. Wir stellen einen Punkt (in einigen Ländern ein Komma wird verwendet), und es wird verstanden, dass die Zahl zum des Punkts direkt Links neben der Zahl 1’s ist, dass zum direkt Recht neben der Zahl vom Zehntel, (10-1 ‘s in der mathematischen Notation) die folgende Zahl ist die Zahl von Hundertsteln (10-2 ‘s) und so weiter. Mit dieser Konvention, ½ wird.5 oder 0.5 geschrieben, und 1/5 ist.2. Leider wird 1/3.33333… eher ungünstig, und 1/6 und 1/7 gehen ähnlich auf immer weiter. (Wirklich ist dieses dezimale System mit dem Punkt, historisch sprechen, eher eine neue Erfindung — es wurde von einem Schotten geschaffen, genannt Napier vor ungefähr 400 Jahren.)

Uns wieder in Verbindung zu setzen, um das römischen System mit unserem eigenen zu vergleichen, bemerken Sie, dass die Römer keinen 0, Null hatten. Das ist, warum es wichtig ist, ein verschiedenes Symbol für zehn und ein X zu haben, und ich leicht bemerkenswert bin. Wenn wir keine Null hätten, ein und zehn würde beide durch 1 vertreten, obwohl wir im Stande sein könnten, sie in einer Säule von Zahlen zu unterscheiden, indem wir sie in verschiedene Säulen gelegt haben.

Nach diejenigen einleitenden Bemerkungen sind wir bereit auf das babylonische System zu schauen. Es wird auf Tonblöcke geschrieben – deshalb haben wir noch ursprüngliche Kopien ringsherum!

Ihr Zahl-System hat nur zwei Grundelemente, von denen das erste beim Überprüfen der ersten neun Zahlen klar ist:

Zweifellos werden diese neun Zahlen alle aus einem einzelnen Element gebildet, ein Zeichen leicht eingemeißelt mit einer Drehung eines Stocks im weichen Ton, und die Zahl von Zeiten dieses Element wird wiederholt, ist die vertretene Zahl. Die Stöcke, die verwendet sind, um die Zeichen zu machen, waren gestalteter Keil,

Die Nummern 10, 20, 30, 40, 50, werden durch die Symbole dargestellt:

Es ist klar, dass wir wieder einfache Wiederholung eines Grundelements haben, das wir durch <günstig darstellen werden, und wieder seines Zeichen ist nicht schwierig im weichen Ton machen. So jede Zahl wird zwischen 1 und 59 durch einem Symbol aus der zweiten Diagramm dargestellt, gefolgt im üblichen Fall durch einem aus der ersten Diagramm, so 32 würde <<<11 fast geschrieben.

Wenn sie zu 60 kommen, fangen die Babylonier wieder auf eine ähnliche Weise zu unserem Starten wieder zu 10 an. So, 82 wird als 1<<11 geschrieben, wo der erste 1, 60 vertritt.

So das babylonische System wird auf der Nummer 60 basiert, auf dieselber Weise wie unser System auf 10 basiert wird. Unserer wird ein “dezimales” System genannt, ihres ein “sexagesimal” System genannt wird.

Es gibt einige echte Probleme mit dem babylonischen Zahl-System, das wichtige ist, niemand hat gedacht, eine Null zu haben, so sowohl sechzig als auch ein Blick genau wird dasselbe, das ist, beide durch 1 vertreten! Wirklich ist es noch schlechter — da es keinen dezimalen Punkt gibt, die Weise 1/2 zu schreiben, den wir 0.5 für fünfzehn schreiben, würden sie <<< schreiben, für sechsunddreißig — aber ohne Null, natürlich und keinen Punkt auch schreiben. So, wenn wir <<<auf einer Tontafel, wissen wir nicht, ob das 1/2, 30 bedeutet, oder was 30×60 betrifft, das ist 1800.

Tatsächlich ist das nicht so schlecht, wie es klingt — sechzig ist ein sehr großer Faktor, und es wird gewöhnlich vom Zusammenhang klar sein, wenn <<< als 1/2 aufgenommen wird. So in Spalten der Tabellen, ein <<< 30 zu vertreten, wurde oft links von <<< dargestellt, 1/2 vertreten.

Bruchteile

In der Wirklichkeit die geschäftlichen Transaktionen, einfacher Hinzufügung und sogar Multiplikation sind nicht so kompliziert in den meisten Zahl-Systemen. Der harte Teil ist Abteilung, mit anderen Worten mit Bruchteilen zu arbeiten, und das geschieht die ganze Zeit, wenn Mittel unter mehreren Personen geteilt werden müssen. Das babylonische System ist für Bruchteile wirklich wunderbar!

Die allgemeinsten Bruchteile, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 alle werden durch eine einzelne Zahl (1/2= <<< , 1/3= << , 1/5= <11, usw.) vertreten. D. h. diese Bruchteile sind genaue Zahlen von sechsundsechzig— sechzig ist die niedrigste Zahl, die sich genau durch 2, 3, 4, 5, und 6 teilt. Das ist eine riesengroße Verbesserung auf dem dezimalen System, das unendliche Wiederauftreten für 1/3 und 1/6 und sogar 1/4 Bedürfnisse zwei Zahlen hat:.25.

(Natürlich, sogar im Babylonier, schließlich werden wir gezwungen, zur zweiten “sexagesimal” Zahl zu gehen, die die Zahl von Sechzigstel von Sechzigstel, d. h. von dreitausend sechs Hundertsteln sein würde. Zum Beispiel 1/8 ist siebeneinhalb Sechzigstel, so würde als sieben gefolgte durch dreißig geschrieben — für sieben Sechzigstel plus dreißig Sechzigstel eines sechzigsten geschrieben. Und 1/7 ist so viel eines Kopfwehs, wie es in unserem eigenen System ist.)

Antike Mathematik-Tabellen

Um ihre Buchhaltung so schmerzlos wie möglich zu machen, die Babylonier hatten Mathematik-Tabellen: Tonblöcke mit ganzen Listen von Reziproken. Die Reziproke einer Zahl ist, womit Sie es multiplizieren müssen, 1 zu bekommen, so die Reziproke von 2 ist ½, geschrieben 0.5 in unserem System, die Reziproke von 5 ist 1/5, geschrieben 0.2 und so weiter.

Das Ziel gegenseitige Tabellen zu haben, ist das Teilen durch etwas dasselbe als das Multiplizieren mit der Reziproke, so die Tabellen zu verwenden, können Sie Abteilung durch die Multiplikation ersetzen, die viel leichter ist.

Überlebende Tonblock-Beispiele von babylonischen gegenseitigen Blöcken sehen wie das aus:

        11             <<<
        111            <<
         1111           <11111
         11111          <11
         111111         <
         11111111       1111111 <<<

Wir haben ein bisschen hier betrogen — die Nummern 4, 5, 6, usw. in beiden Säulen sollten wirklich ihren 1’s gesammelt haben, als in der ersten Zahl oben.

Wie Praktisch sind babylonische Gewichte und Maßnahmen?

Wollen wir als ein Beispiel nehmen, wie viel Nahrungsmittel eine Familie braucht. Wenn sie 120 Schekel des Kornes jeden Tag zum Beispiel verbrauchen, ist es 12 Talente des Kornes pro Jahr. (Ein Talent = 3600 Schekel). Stellen Sie sich gerade die parallele Berechnung jetzt vor: Wenn die Familie 30 Unzen des Kornes ein Tag verbraucht, was steht das in Tonnen pro Jahr? Wenn Sie nach Babylon von vor viertausend Jahren transportiert würden, würden Sie Ihre Rechenmaschine kaum verpassen! (Zugegebenermaßen ist die babylonische Berechnung alle sechs Jahre ein bisschen schwieriger, wenn sie in einem Extramonat werfen.)

Der Pythagoras-Satz Eintausend Jahre bevor Pythagoras

Einige der entdeckten Tonblöcke enthalten Listen von Drillingen von Zahlen, fangen mit (3, 4, 5) an, und (5, 12, 13), die die Längen von Seiten von rechtwinkligem Dreieck sind, den Pythagoras “ Summen der Quadrate ” Formel folgend. Insbesondere ein Block, jetzt in der Yale babylonischen Sammlung, dieser Fotographie durch Bill Casselman, zeigt ein Bild eines Quadrats mit den Diagonalen gekennzeichnet, und die Längen der Linien werden auf der Zahl gekennzeichnet: Die Seite wird <<< gegenzeichnet, bedeutet  dreißig (Finger?) Länge, die Diagonale wird :<<<<11 <<11111<<<11111 gegenzeichnet. Das übersetzt zu 42,25,35, bedeutet 42 + 26/60 + 35/3600. Diese Formen zu verwenden, Verhältnis von der Länge zum Länge des Seitenquadrats findet heraus, 1.414213… zu sein

Jetzt, wenn wir den Pythagoras Satz verwenden, die Diagonale eines Quadrats bildet mit zwei der Seiten ein rechtwinkliges Dreieck, und wenn wir die Seiten nehmen, um eine Länge zu haben, die Länge einer Diagonale eines Quadrats gleicht 1 + 1, so die Diagonallänge ist Quadratwurzel 2. Die Figur auf dem Tonblock ist unglaublich genau — der wahre Wert ist 1.414214 … Natürlich, dieser babylonische Wert ist zu genau, um durch das Maß aus einer genauen Zeichnung gefunden worden zu sein — es wurde genau durch die arithmetische Multiplikation allein überprüft, eine Zahl sehr nah von zwei gebend.